2003 · 数学一 · 第 20 题 · 解答题

三条直线的系数矩阵为

M = a b c 2 b 2 c 2 a 3 c 3 a 3 b

，展开得 $det M = 18 ab c - 6 (a^{3} + b^{3} + c^{3})$ 。利用

a^{3} + b^{3} + c^{3} - 3 ab c = (a + b + c) (a^{2} + b^{2} + c^{2} - ab - b c - c a),

得 $det M = - 6 (a + b + c) (a^{2} + b^{2} + c^{2} - ab - b c - c a)$ 。

因三条直线不同，不可能有 $a = b = c$ （非零时三线重合，全零时不成直线）。故

a^{2} + b^{2} + c^{2} - ab - b c - c a = \frac{1}{2} [(a - b)^{2} + (b - c)^{2} + (c - a)^{2}] > 0.

若三线交于一点 $(x_{0}, y_{0})$ ，则 $M (x_{0}, y_{0}, 1)^{T} = 0$ ，从而 $det M = 0$ ，所以 $a + b + c = 0$ 。

反之，设 $a + b + c = 0$ 。三条直线方程的左端相加恒为零。前两条直线法向量的行列式为

2 (a c - b^{2}) = - 2 (a^{2} + ab + b^{2}) \neq = 0,

因为 $a^{2} + ab + b^{2} = (a + \frac{b}{2})^{2} + \frac{3 b ^{2}}{4}$ ，它为零将导致 $a = b = c = 0$ ，与题设矛盾。因此前两条直线有唯一交点，而该点也满足第三条直线的方程。故三条直线交于一点。

答案