（1）记$N(x)={\int }_1^x[t^2(e^{\frac{1}{t}}-1)-t]\mathrm{d}t$，$D(x)=x^2\ln (1+\frac{1}{x})$。先判断极限类型。令$s=\frac{1}{t}\to 0^{+}$，由$e^s=1+s+\frac{s^2}{2}+o(s^2)$，得

$$t^2(e^{\frac{1}{t}}-1)-t=\frac{e^s-1-s}{s^2}⟶\frac{1}{2}.$$

因此存在$T>1$，使$t>T$时被积函数大于$\frac{1}{4}$，从而$N(x)\ge N(T)+\frac{(x-T)}{4}\to +\infty$。又$D(x)\sim x\to +\infty$，故原极限为$\frac{\infty }{\infty }$型。
（2）由变限积分求导公式和乘积法则，

$$\begin{array}{rl}{N}^{\prime }(x)& =x^2(e^{\frac{1}{x}}-1)-x⟶\frac{1}{2},\\ D^{\prime }(x)& =2x\ln (1+\frac{1}{x})-\frac{x}{x+1}⟶2-1=1.\end{array}$$

这里$x\ln (1+\frac{1}{x})\to 1$，且$D^{\prime }(x)\to 1$保证充分大时分母导数非零。由洛必达法则，

$$\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{N(x)}{D(x)}=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{N^{\prime }(x)}{D^{\prime }(x)}=\frac{\frac{1}{2}}{1}=\frac{1}{2}.$$

计算$N^{\prime }$的极限时不能在减法中只用$e^{\frac{1}{x}}-1\sim \frac{1}{x}$，因为一阶项会抵消，必须保留二阶项。分母求导也须对原表达式进行，不能对等价关系直接求导。