因为 $Q$ 正交，$Q^{T}AQ=\Lambda$ 等价于 $AQ=Q\Lambda$，所以其各列为单位特征向量。令 $u_1=(1,2,1{)}^T$，设对应特征值为 ${\lambda }_1$，则

第一分量给出 ${\lambda }_1=2$，第二分量给出 $a+5=4$，故 $a=-1$；第三分量此时也为 $2$，条件相容。
代入后 $\mathrm{tr}A=3$、$|A|=-40$。设其余特征值为 ${\lambda }_2,{\lambda }_3$，则 ${\lambda }_2+{\lambda }_3=1$、${\lambda }_2{\lambda }_3=-20$，故它们为 $t^2-t-20=0$ 的两根 $5,-4$。
对 $5$，方程 $(5E-A)x=0$ 化为 $x_2+x_3=0,x_1+2x_2+x_3=0$，取 $u_2=(1,-1,1{)}^T$。对 $-4$，方程 $(A+4E)x=0$ 给出 $x_2=0,x_1+x_3=0$，取 $u_3=(1,0,-1{)}^T$。
三个向量两两正交，模长依次为 $\sqrt{6},\sqrt{3},\sqrt{2}$，所以只需单位化，取

于是 $Q^{T}Q=E$，第一列正是题设指定向量，且 $Q^{T}AQ=\mathrm{diag}(2,5,-4)$。第二、三列可以各自反号或互换，互换时对应对角元也须互换；第一列须保持题设指定值。