1987 · 数学一 · 第 7 题 · 解答题

设

f

、

g

为连续可微函数，

u = f (x, x y)

，

v = g (x + x y)

，求

\frac{\partial u}{\partial x}

和

\frac{\partial v}{\partial x}

。

答案

$\frac{\partial u}{\partial x} = f_{1} (x, x y) + y f_{2} (x, x y), \frac{\partial v}{\partial x} = (1 + y) g^{'} (x + x y)$

查看解析展开

对 $u = f (x, x y)$ ，求关于 $x$ 的偏导时把 $y$ 视为常数。第一、第二中间变量对 $x$ 的导数分别为 $1$ 与 $y$ ，所以

\frac{\partial u}{\partial x} = f_{1} (x, x y) + y f_{2} (x, x y) .

对 $v = g (x + x y)$ ，内函数 $x + x y = x (1 + y)$ 关于 $x$ 的偏导为 $1 + y$ ，故

\frac{\partial v}{\partial x} = (1 + y) g^{'} (x + x y) .