2007 · 数学二 · 第 15 题 · 填空题

设

f (u, v)

是二元可微函数，

z = f (\frac{y}{x}, \frac{x}{y})

，则

x \frac{\partial z}{\partial x} - y \frac{\partial z}{\partial y} =

。

答案

$2 [\frac{x}{y} f_{v} (\frac{y}{x}, \frac{x}{y}) - \frac{y}{x} f_{u} (\frac{y}{x}, \frac{x}{y})]$

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令 $u = \frac{y}{x}$ ， $v = \frac{x}{y}$ ，则

u_{x} = - \frac{u}{x}, u_{y} = \frac{u}{y}, v_{x} = \frac{v}{x}, v_{y} = - \frac{v}{y} .

由 $z = f (u, v)$ ，有

x z_{x} = - u f_{u} + v f_{v}, y z_{y} = u f_{u} - v f_{v} .

所以

x z_{x} - y z_{y} = 2 (v f_{v} - u f_{u}) = 2 [\frac{x}{y} f_{v} (\frac{y}{x}, \frac{x}{y}) - \frac{y}{x} f_{u} (\frac{y}{x}, \frac{x}{y})] .