设一次试验中 $A$ 出现的概率为 $p$。三次独立试验中一次也不出现的概率为 $(1-p{)}^3$。

由 $1-(1-p{)}^3=\frac{19}{27}$，得 $(1-p{)}^3=\frac{8}{27}$。因 $0\le p\le 1$，故 $1-p=\frac{2}{3}$，从而 $p=\frac{1}{3}$。