把第二类曲面积分看作向量场 $\mathbf{F}=(0,yz,2)$ 通过上半球面 $S$ 外侧的通量。以底面圆盘 $S_0:z=0,x^2+y^2\le 4$ 封闭上半球体 $\Omega$。

有 $\nabla \cdot \mathbf{F}=z$。由高斯公式，

底面外法向为 $-\mathbf{k}$，故底面通量为 $-2\cdot 4\pi =-8\pi$。

用柱坐标计算体积分：

因此 $I-8\pi =4\pi$，即 $I=12\pi$。