由边界 $x=0$、$y=x$、$y=1$ 可知 $D=\{(x,y):0\le x\le y\le 1\}$。

因此积分为

内层积分为 $\sqrt{y}\cdot \frac{2}{3}{y}^{\frac{3}{2}}=\frac{2}{3}{y}^2$，所以原积分等于 ${\int }_0^1\frac{2}{3}{y}^2\mathrm{d}y=\frac{2}{9}$。