2002 · 数学二 · 第 8 题 · 选择题

设

y = y (x)

是二阶常系数微分方程

y^{''} + p y^{'} + q y = e^{3 x}

满足初始条件

y (0) = y^{'} (0) = 0

的特解，则当

x \to 0

，函数

\frac{ln ( 1 + x ^{2} )}{y ( x )}

的极限（　　）。

答案

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在 $x = 0$ 处由微分方程和初始条件得 $y^{''} (0) = 1$ ，因为 $y (0) = y^{'} (0) = 0$ 。

所以 $y (x) = \frac{x ^{2}}{2} + o (x^{2})$ ，而 $ln (1 + x^{2}) = x^{2} + o (x^{2})$ 。

故 $x \to 0 lim \frac{ln ( 1 + x ^{2} )}{y ( x )} = 2$ ，对应选项 C。