1989 · 数学三 · 第 8 题 · 选择题

设

A

是

n

阶方阵，且

∣ A ∣ = 0

，则（　　）。

A
$A$ 中必有两行（列）的元素对应成比例。
B
$A$ 中任意一行（列）向量是其余各行（列）向量的线性组合。
C
$A$ 中必有一行（列）向量是其余各行（列）向量的线性组合。
正确答案
D
$A$ 中至少有一行（列）的元素全是 $0$ 。

答案

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由 $∣ A ∣ = 0$ ， $A$ 的行向量组线性相关，故存在不全为零的系数 $c_{1}, \dots, c_{n}$ ，使 $c_{1} α_{1} + \dots + c_{n} α_{n} = 0$ 。取 $c_{k} \neq = 0$ ，得到 $α_{k} = - j \neq = k \sum (\frac{c _{j}}{c _{k}}) α_{j}$ ，即必有一行向量可由其余行向量线性表示。对列向量组同样成立，所以选 C。