（1）先通分，将差式写成

$$\frac{1}{e^x-1}-\frac{1}{\ln (1+x)}=\frac{\ln (1+x)-(e^x-1)}{(e^x-1)\ln (1+x)}.$$

分母由两个一阶无穷小相乘，满足 $(e^x-1)\ln (1+x)=x^2+o(x^2)$，所以分子应保留到二阶。
（2）由 $\ln (1+x)=x-\frac{x^2}{2}+o(x^2)$、$e^x-1=x+\frac{x^2}{2}+o(x^2)$，相减得 $\ln (1+x)-(e^x-1)=-x^2+o(x^2)$。一次项相消后，两个二次项的贡献都为负。
（3）因此原极限为 $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{[-x^2+o(x^2)]}{[x^2+o(x^2)]}=-1$。不能在通分前分别以 $x$ 替换两个分母，那样会抹去决定差值的二阶修正项。