2000 · 数学二 · 第 18 题 · 解答题

设曲线

y = a x^{2} (a > 0, x \geq 0)

与

y = 1 - x^{2}

交于点

A

，过坐标原点

O

和点

A

的直线与曲线

y = a x^{2}

围成一平面图形，该图形绕

x

轴旋转一周。

答案

$a = 4$

$\frac{32 π}{375 5}$

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两曲线交点的横坐标为 $x_{A} = \frac{1}{a + 1}$ ，纵坐标为 $y_{A} = \frac{a}{( a + 1 )}$ ，故直线 $O A$ 为 $y = \frac{a}{a + 1} x$ 。

用垫片法得体积

V (a) = π \int_{0}^{\frac{1}{a + 1}} (\frac{a ^{2}}{a + 1} x^{2} - a^{2} x^{4}) d x = \frac{2 π a ^{2}}{15 ( a + 1 ) ^{\frac{5}{2}}} .

对 $a > 0$ ，令对数导数 $\frac{2}{a} - \frac{5}{[ 2 ( a + 1 )]} = 0$ ，得唯一驻点 $a = 4$ 。又 $V (a)$ 在 $a \to 0^{+}$ 与 $a \to + \infty$ 时均趋于零，故最大值在 $a = 4$ 处取得。

由第一问的体积公式 $V (a) = \frac{2 π a ^{2}}{15 ( a + 1 ) ^{\frac{5}{2}}}$ 及最优参数 $a = 4$ ，

得到 $V_{m a x} = \frac{2 π \cdot 16}{15 \cdot 5 ^{\frac{5}{2}}} = \frac{32 π}{375 5}$ 。