2003 · 数学一 · 第 13 题 · 解答题

过坐标原点作曲线

y = ln x

的切线，该切线与曲线

y = ln x

及

x

轴围成平面图形

D

答案

$A = \frac{e}{2} - 1$

$V = 2 π (\frac{5 e ^{2}}{12} - e + \frac{1}{4})$

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曲线在 $x = a$ 处的切线为 $y = ln a + \frac{x - a}{a}$ 。它过原点当且仅当 $ln a - 1 = 0$ ，故 $a = e$ ，切线为 $y = \frac{x}{e}$ 。

区域边界依次经过 $(0, 0)$ 、 $(1, 0)$ 、 $(e, 1)$ ，所以

A = \int_{0}^{1} \frac{x}{e} d x + \int_{1}^{e} (\frac{x}{e} - ln x) d x .

计算得

A = \frac{1}{2 e} + (\frac{e}{2} - \frac{1}{2 e} - 1) = \frac{e}{2} - 1.

沿用第一问确定的切线与区域。绕直线 $x = e$ 旋转时，半径为 $e - x$ 。区域的竖直高度为 $\frac{x}{e}$ （ $0 \leq x \leq 1$ ），以及 $\frac{x}{e} - ln x$ （ $1 \leq x \leq e$ ）。

因此

V = 2 π [\int_{0}^{1} (e - x) \frac{x}{e} d x + \int_{1}^{e} (e - x) (\frac{x}{e} - ln x) d x] .

两项相加为 $\frac{5 e ^{2}}{12} - e + \frac{1}{4}$ ，故 $V = 2 π (\frac{5 e ^{2}}{12} - e + \frac{1}{4})$ 。