2019 · 数学一 · 第 18 题 · 解答题

设

a_{n} = \int_{0}^{1} x^{n} 1 - x^{2} d x (n = 0, 1, 2, \dots)

。

(1) 证明数列 ${a_{n}}$ 单调减少，且 $a_{n} = \frac{n - 1}{n + 2} a_{n - 2} (n = 2, 3, \dots)$ ；
(2) 求极限 $n \to \infty lim \frac{a _{n}}{a _{n - 1}}$ 。

答案

第 1 问

证明见解析

第 2 问

$1$

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第 1 问

（1）各被积函数在 $[0, 1]$ 上连续，并在 $(0, 1)$ 内为正，故 $a_{n} > 0$ 。对 $n \geq 1$ ，

a_{n - 1} - a_{n} = \int_{0}^{1} x^{n - 1} (1 - x) 1 - x^{2} d x > 0,

因为被积函数连续非负且在 $(0, 1)$ 内严格为正。因此数列严格递减。
（2）对 $n \geq 2$ ，利用 $x 1 - x^{2} d x = d [- \frac{( 1 - x ^{2} ) ^{\frac{3}{2}}}{3}]$ ，分部积分得

a_{n} = - \frac{x ^{n - 1}}{3} (1 - x^{2})^{\frac{3}{2}}_{0}^{1} + \frac{n - 1}{3} \int_{0}^{1} x^{n - 2} (1 - x^{2})^{\frac{3}{2}} d x = \frac{n - 1}{3} \int_{0}^{1} (x^{n - 2} - x^{n}) 1 - x^{2} d x = \frac{n - 1}{3} (a_{n - 2} - a_{n}) .

边界项在 $x = 1$ 因根式为零而消失，在 $x = 0$ 因 $n - 1 \geq 1$ 而消失。移项得 $(n + 2) a_{n} = (n - 1) a_{n - 2}$ ，即 $a_{n} = \frac{n - 1}{n + 2} a_{n - 2}$ （ $n \geq 2$ ）。

第 2 问

由第一问， $a_{n} > 0$ 且 $a_{n} < a_{n - 1} < a_{n - 2}$ （ $n \geq 2$ ）。因此

\frac{n - 1}{n + 2} = \frac{a _{n}}{a _{n - 2}} < \frac{a _{n}}{a _{n - 1}} < 1.

左端由递推公式得到，且 $\frac{( n - 1 )}{( n + 2 )} \to 1$ 。由夹逼准则， $n \to \infty lim \frac{a _{n}}{a _{n - 1}} = 1$ 。