1997 · 数学三 · 第 14 题 · 解答题

设函数

f (x)

在

[0, + \infty)

上连续、单调不减且

f (0) \geq 0

。定义

F (x) = ⎩ ⎨ ⎧ \frac{1}{x} \int_{0}^{x} t^{n} f (t) d t, 0, x > 0 x = 0

，其中

n > 0

。

答案

证明见解析

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在 $x > 0$ 时，被积函数 $t^{n} f (t)$ 连续，所以其变上限积分连续，除以非零的 $x$ 后， $F$ 在 $(0, + \infty)$ 上连续。

由于 $f$ 在 $0$ 附近连续，存在 $M > 0$ 使 $∣ f (t) ∣ \leq M$ 。于是当 $x > 0$ 足够小时，

∣ F (x) ∣ \leq \frac{M}{x} \int_{0}^{x} t^{n} d t = \frac{M}{n + 1} x^{n} \to 0 = F (0) .

故 $F$ 在原点右连续，结合前述结论， $F$ 在 $[0, + \infty)$ 上连续。

由 $f$ 单调不减且 $f (0) \geq 0$ ，对 $t \geq 0$ 有 $f (t) \geq 0$ 。对 $x > 0$ 求导，

F^{'} (x) = \frac{x ^{n + 1} f ( x ) - \int _{0}^{x} t ^{n} f ( t ) d t}{x ^{2}} .

当 $0 \leq t \leq x$ 时 $f (t) \leq f (x)$ ，故

\int_{0}^{x} t^{n} f (t) d t \leq f (x) \frac{x ^{n + 1}}{n + 1} .

因而分子至少为 $\frac{n}{n + 1} x^{n + 1} f (x) \geq 0$ ，所以 $F^{'} (x) \geq 0$ 。

另外 $F (x) \geq 0 = F (0)$ 。结合正半轴上的单调性， $F$ 在整个 $[0, + \infty)$ 上单调不减。