令 $h=f-g$。若题设极限为零，则 $h(x)=o((x-a{)}^2)$。由 $h$ 连续，先得 $h(a)=0$；再由导数定义，

利用二阶泰勒公式，$h(x)=\frac{h^{\prime \prime }(a)}{2}(x-a{)}^2+o((x-a{)}^2)$，除以 $(x-a{)}^2$ 并取极限可得 $h^{\prime \prime }(a)=0$。反之，若 $h(a)=h^{\prime }(a)=h^{\prime \prime }(a)=0$，同一泰勒公式立即给出题设极限为零。因此该极限条件等价于

前两个等式保证两曲线在该点相切。曲率公式为 $K_f=\frac{|f^{\prime \prime }(a)|}{[1+(f^{\prime }(a){)}^2{]}^{\frac{3}{2}}}$，$K_g=\frac{|g^{\prime \prime }(a)|}{[1+(g^{\prime }(a){)}^2{]}^{\frac{3}{2}}}$；由上述导数等式可得曲率相等，所以题设条件充分。
但相切且曲率相等只要求 $f(a)=g(a)$、$f^{\prime }(a)=g^{\prime }(a)$ 和 $|f^{\prime \prime }(a)|=|g^{\prime \prime }(a)|$，二阶导数可以互为相反数。取 $a=0$、$f(x)=x^2$、$g(x)=-x^2$，两者在原点有公切线 $y=0$，曲率同为 $2$，而 $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{[f(x)-g(x)]}{x^2}=2\ne 0$。故题设条件不必要。
因此是充分不必要条件，选 A。