2017 · 数学一 · 第 23 题 · 解答题

某工程师为了解一台天平的精度，用该天平对一物体的质量做

n

次测量，该物体的质量

μ

是已知的。设

n

次测量结果

X_{1}, X_{2}, \dots, X_{n}

相互独立且均服从正态分布

N (μ, σ^{2})

。该工程师记录的是

n

次测量的绝对误差

Z_{i} = ∣ X_{i} - μ ∣ (i = 1, 2, \dots, n)

，利用

Z_{1}, Z_{2}, \dots, Z_{n}

估计

σ

。

(1) 求 $Z_{i}$ 的概率密度；
(2) 利用一阶矩求 $σ$ 的矩估计量；
(3) 求 $σ$ 的最大似然估计量。

答案

第 1 问

$f_{Z_{i}} (z) = ⎩ ⎨ ⎧ \frac{\frac{2}{π}}{σ} e^{- \frac{z ^{2}}{( 2 σ ^{2} )}}, 0, z > 0, z \leq 0.$

第 2 问

$σ_{M} = \frac{π}{2} \frac{1}{n} i = 1 \sum n Z_{i}$ 。

第 3 问

$σ_{L} = \frac{1}{n} i = 1 \sum n Z_{i}^{2}$ 。

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第 1 问

记 $Φ$ 为标准正态分布函数。由于 $Z_{i} = ∣ X_{i} - μ ∣ \geq 0$ ，当 $z < 0$ 时 $F_{Z_{i}} (z) = 0$ ；当 $z \geq 0$ 时，

F_{Z_{i}} (z) = P (μ - z \leq X_{i} \leq μ + z) = Φ (\frac{z}{σ}) - Φ (- \frac{z}{σ}) = 2Φ (\frac{z}{σ}) - 1.

对 $z > 0$ 求导，得 $f_{Z_{i}} (z) = \frac{2}{π} σ^{- 1} e^{- \frac{z ^{2}}{( 2 σ ^{2} )}}$ ；其余处可取零。

第 2 问

由第一问的密度，

E (Z_{i}) = \frac{\frac{2}{π}}{σ} \int_{0}^{\infty} z e^{- \frac{z ^{2}}{( 2 σ ^{2} )}} d z = \frac{2}{π} σ .

令总体一阶矩等于样本一阶矩 $Z$ ，解得 $σ_{M} = \frac{π}{2} Z$ 。

第 3 问

绝对误差相互独立。记观测值为 $z_{1}, \dots, z_{n}$ ， $Q = \sum z_{i}^{2}$ ，则

L (σ) = (\frac{2}{π})^{n} σ^{- n} e^{- \frac{Q}{( 2 σ ^{2} )}}, σ > 0.

其对数为 $ℓ (σ) = \frac{n}{2} ln (\frac{2}{π}) - n ln σ - \frac{Q}{( 2 σ ^{2} )}$ ，故 $ℓ^{'} (σ) = \frac{( Q - n σ ^{2} )}{σ ^{3}}$ 。当 $Q > 0$ 时，在 $\frac{Q}{n}$ 左侧导数为正、右侧为负，最大似然估计量为 $σ_{L} = \sum \frac{Z _{i}^{2}}{n}$ 。 $Q = 0$ 是零概率事件，此时正参数空间中似然无最大值；估计量可在该事件上延拓为零。