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设曲线积分
∫
C
x
y
2
d
x
+
y
φ
(
x
)
d
y
与路径无关，其中
φ
(
x
)
具有连续的导数，且
φ
(
0
)
=
0
，计算
∫
(
0
,
0
)
(
1
,
1
)
x
y
2
d
x
+
y
φ
(
x
)
d
y
的值。
答案
2
1
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令
M
(
x
,
y
)
=
x
y
2
，
N
(
x
,
y
)
=
y
φ
(
x
)
。路径无关且偏导连续，故
M
y
=
2
x
y
=
N
x
=
y
φ
′
(
x
)
.
对所有
(
x
,
y
)
成立，从而
φ
′
(
x
)
=
2
x
。结合
φ
(
0
)
=
0
，得
φ
(
x
)
=
x
2
。
此时
x
y
2
d
x
+
x
2
y
d
y
=
d
(
2
1
x
2
y
2
)
.
因此所求积分为
2
1
x
2
y
2
(
0
,
0
)
(
1
,
1
)
=
2
1
.