2009 · 数学一 · 第 12 题 · 填空题

设

Ω = {(x, y, z) ∣ x^{2} + y^{2} + z^{2} \leq 1}

，则

∭_{Ω} z^{2} d x d y d z =

。

答案

$\frac{4 π}{15}$

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在单位球 $Ω$ 上由对称性有

∭_{Ω} x^{2} d V = ∭_{Ω} y^{2} d V = ∭_{Ω} z^{2} d V .

三者相加得到

3 ∭_{Ω} z^{2} d V = ∭_{Ω} (x^{2} + y^{2} + z^{2}) d V = 4 π \int_{0}^{1} r^{4} d r = \frac{4 π}{5} .

因此积分为 $\frac{4 π}{15}$ 。