1995 · 数学三 · 第 14 题 · 解答题

设

f (x) = ⎩ ⎨ ⎧ x arctan \frac{1}{x ^{2}}, 0, x \neq = 0 x = 0

，试讨论

f^{'} (x)

在

x = 0

处的连续性。

答案

$f^{'} (0) = \frac{π}{2}$ ，且 $f^{'} (x)$ 在 $x = 0$ 处连续

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由导数定义，

f^{'} (0) = x \to 0 lim \frac{x arctan ( \frac{1}{x ^{2}} )}{x} = x \to 0 lim arctan \frac{1}{x ^{2}} = \frac{π}{2} .

当 $x \neq = 0$ 时，

f^{'} (x) = arctan \frac{1}{x ^{2}} - \frac{2 x ^{2}}{1 + x ^{4}} .

令 $x \to 0$ ，上式趋于 $\frac{π}{2} = f^{'} (0)$ ，所以 $f^{'}$ 在 $x = 0$ 处连续。