1989 · 数学三 · 第 20 题 · 解答题

已知随机变量

X

和

Y

的联合分布如下表，求下列各项。

$(x, y)$	$(0, 0)$	$(0, 1)$	$(1, 0)$	$(1, 1)$	$(2, 0)$	$(2, 1)$
$P {X = x, Y = y}$	$0.10$	$0.15$	$0.25$	$0.20$	$0.15$	$0.15$

答案

$P (X = 0) = 0.25, P (X = 1) = 0.45, P (X = 2) = 0.30$

$P (X + Y = 0) = 0.10, P (X + Y = 1) = 0.40, P (X + Y = 2) = 0.35, P (X + Y = 3) = 0.15$

$E (Z) = 0.25$

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分别对 $Y = 0, 1$ 求和：

P (X = 0) = 0.10 + 0.15 = 0.25, P (X = 1) = 0.25 + 0.20 = 0.45, P (X = 2) = 0.15 + 0.15 = 0.30.

令 $S = X + Y$ 。由联合分布逐项合并，

P (S = 0) = 0.10, P (S = 1) = 0.15 + 0.25 = 0.40,

P (S = 2) = 0.20 + 0.15 = 0.35, P (S = 3) = 0.15.

沿用第二问的 $S = X + Y$ 及其分布。因为 $Z = sin (π \frac{S}{2})$ ，当 $S = 0, 1, 2, 3$ 时， $Z$ 依次为 $0, 1, 0, - 1$ 。

因此

E (Z) = 0 \times 0.10 + 1 \times 0.40 + 0 \times 0.35 - 1 \times 0.15 = 0.25.