由 $X\sim B(1,\frac{1}{3})$，有 $P\{X=0\}=\frac{2}{3},P\{X=1\}=\frac{1}{3}$。由 $Y\sim B(2,\frac{1}{2})$，有 $P\{Y=0\}=\frac{1}{4},P\{Y=1\}=\frac{1}{2},P\{Y=2\}=\frac{1}{4}$。
两者公共取值只有 $0,1$，相等事件分为两个互斥部分。利用独立性，

其中 $P\{Y=1\}=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{2}{1}\right)(\frac{1}{2}{)}^2=\frac{1}{2}$，不能遗漏二项系数；$X$ 不可能取 $2$，所以不产生第三个相等项。