1994 · 数学三 · 第 5 题 · 填空题

微分方程

y d x + (x^{2} - 4 x) d y = 0

的通解为。

答案

$y = C ∣ \frac{x}{x - 4} ∣^{\frac{1}{4}}$

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在不跨越奇点 $x = 0, 4$ 的区间内，方程可写为

\frac{d y}{y} = - \frac{d x}{x ( x - 4 )} .

利用

- \frac{1}{x ( x - 4 )} = \frac{1}{4 x} - \frac{1}{4 ( x - 4 )},

积分得

ln ∣ y ∣ = \frac{1}{4} ln \frac{x}{x - 4} + C_{1} .

因此通解为

y = C \frac{x}{x - 4}^{\frac{1}{4}},

其中 $C$ 为任意常数； $C = 0$ 包含零解。