1990 · 数学三 · 第 22 题 · 解答题

某地抽样调查结果表明，考生的外语成绩（百分制）近似服从正态分布，平均成绩为

72

分，

96

分以上的占考生总数的

2.3%

。求考生的外语成绩在

60

分至

84

分之间的概率。附表中

Φ (x)

是标准正态分布函数：

$x$	$0$	$0.5$	$1.0$	$1.5$	$2.0$	$2.5$	$3.0$
$Φ (x)$	$0.500$	$0.692$	$0.841$	$0.933$	$0.977$	$0.994$	$0.999$

答案

$0.682$

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设成绩 $X \sim N (72, σ^{2})$ 。由 $P (X > 96) = 0.023$ 得

Φ (\frac{96 - 72}{σ}) = 0.977.

查表 $Φ (2) = 0.977$ ，故 $\frac{24}{σ} = 2$ ，即 $σ = 12$ 。

令 $Z = \frac{( X - 72 )}{12}$ ，则 $Z \sim N (0, 1)$ ，于是

P (60 \leq X \leq 84) = P (- 1 \leq Z \leq 1) = Φ (1) - Φ (- 1) = 2Φ (1) - 1.

由表中 $Φ (1) = 0.841$ ，所求概率为 $2 \times 0.841 - 1 = 0.682$ 。