1989 · 数学三 · 第 18 题 · 解答题

设

α_{1} = (1, 1, 1)

，

α_{2} = (1, 2, 3)

，

α_{3} = (1, 3, t)

。

答案

$t \neq = 5$

$t = 5$

$α_{3} = - α_{1} + 2 α_{2}$

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以三个向量为行组成矩阵，其行列式为

111123 13 t = t - 5

。

行列式非零时向量组线性无关，所以 $t \neq = 5$ 。

向量组线性相关当且仅当第一问求出的行列式为零，即 $t - 5 = 0$ ，所以 $t = 5$ 。

当 $t = 5$ 时，设 $α_{3} = c_{1} α_{1} + c_{2} α_{2}$ 。比较前两坐标得 $c_{1} + c_{2} = 1$ 、 $c_{1} + 2 c_{2} = 3$ 。

解得 $c_{1} = - 1$ 、 $c_{2} = 2$ ，第三坐标也满足 $- 1 + 2 \times 3 = 5$ 。故 $α_{3} = - α_{1} + 2 α_{2}$ 。