轮换对称与截面法。区域为 $\Omega =\{(x,y,z):x,y,z\ge 0,x+y+z\le 1\}$，在任意交换三个变量后保持不变。因此 ${\iiint }_{\Omega }x\mathrm{d}V={\iiint }_{\Omega }y\mathrm{d}V={\iiint }_{\Omega }z\mathrm{d}V=J$，所求 $I=(1+2+3)J=6J$。
固定 $x\in [0,1]$，截面是 $y,z\ge 0$、$y+z\le 1-x$ 的直角三角形，面积为 $\frac{(1-x{)}^2}{2}$。故

因此 $I=\frac{6}{24}=\frac{1}{4}$。

形心法。四面体的顶点为 $(0,0,0),(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)$，体积为 $V=\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{2}\cdot 1=\frac{1}{6}$。四面体形心是四顶点的算术平均，故 $(\bar{x},\bar{y},\bar{z})=(\frac{1}{4},\frac{1}{4},\frac{1}{4})$。由形心定义，