（1）令$t=\sqrt{x}$，则$x=t^2$，$\mathrm{d}x=2t\mathrm{d}t$，原积分上下限变为$0,\pi$。所以$I=2{\int }_0^{\pi }{t}^2\cos t\mathrm{d}t$。
（2）第一次分部积分，用$\cos t\mathrm{d}t=\mathrm{d}(\sin t)$，得

$${\int }_0^{\pi }{t}^2\cos t\mathrm{d}t=[t^2\sin t{]}_0^{\pi }-2{\int }_0^{\pi }t\sin t\mathrm{d}t=-2{\int }_0^{\pi }t\sin t\mathrm{d}t.$$

第二次分部积分，用$\sin t\mathrm{d}t=-\mathrm{d}(\cos t)$，得${\int }_0^{\pi }t\sin t\mathrm{d}t=[-t\cos t{]}_0^{\pi }+{\int }_0^{\pi }\cos t\mathrm{d}t=\pi$。
（3）故$I=2\cdot (-2)\cdot \pi =-4\pi$。两次分部合并也可写为$I=2[t^2\sin t+2t\cos t-2\sin t{]}_0^{\pi }=-4\pi$。