（1）确定参数的基本范围。$x\to 0^{+}$ 时 $\ln (1+2x)\to 0^{+}$。若 $\alpha <0$，其 $\alpha$ 次幂趋于正无穷；若 $\alpha =0$，其值恒为 $1$，且另一式的 $\frac{1}{\alpha }$ 无意义。因此必须 $\alpha >0$。
（2）分别确定高阶条件。由 $\ln (1+2x)\sim 2x$，两个正量取固定次幂后仍等价，得

此比值趋于 $0$ 当且仅当 $\alpha >1$。又由 $1-\cos x\sim \frac{x^2}{2}$，有

在 $\alpha >0$ 下，此比值趋于 $0$ 当且仅当 $\frac{2}{\alpha }>1$，即 $\alpha <2$。
（3）取交集。两个条件同时成立恰为 $1<\alpha <2$，选 B。端点 $\alpha =1$ 时第一个比值趋于 $2$，$\alpha =2$ 时第二个比值趋于 $\frac{1}{\sqrt{2}}$，均不属于高阶；$\alpha >2$ 违背第二条件，另外两选项中的 $\alpha <1$ 违背第一条件。