使用 $\min \{x,y\}=\frac{(x+y-|x-y|)}{2}$。含 $x+y$ 的积分由对称性为零，故原积分等于

$$-\frac{1}{2}{\iint }_{{\mathbb{R}}^2}|x-y|{\mathrm{e}}^{-(x^2+y^2)}\mathrm{d}x\mathrm{d}y.$$

令 $u=\frac{(x+y)}{\sqrt{2}}$、$v=\frac{(x-y)}{\sqrt{2}}$，雅可比绝对值为 $1$，且 $|x-y|=\sqrt{2}|v|$。于是积分为

$$-\frac{1}{\sqrt{2}}\left({\int }_{-\infty }^{\infty }{\mathrm{e}}^{-u^2}\mathrm{d}u\right)\left({\int }_{-\infty }^{\infty }|v|{\mathrm{e}}^{-v^2}\mathrm{d}v\right).$$

两因子分别为 $\sqrt{\pi }$ 与 $1$，所以结果为 $-\sqrt{\frac{\pi }{2}}$。