1999 · 数学三 · 第 14 题 · 解答题

设

F (x)

为

f (x)

的原函数，且当

x \geq 0

时，

f (x) F (x) = \frac{x e ^{x}}{2 ( 1 + x ) ^{2}}

。已知

F (0) = 1

，

F (x) > 0

，试求

f (x)

。

答案

$\frac{x e ^{\frac{x}{2}}}{2 ( 1 + x ) ^{\frac{3}{2}}}, x \geq 0$

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因 $F^{'} = f$ ，题设给出

F^{'} F = \frac{x e ^{x}}{2 ( 1 + x ) ^{2}}, (F^{2})^{'} = \frac{x e ^{x}}{( 1 + x ) ^{2}} .

注意到

(\frac{e ^{x}}{1 + x})^{'} = \frac{x e ^{x}}{( 1 + x ) ^{2}} .

结合 $F (0) = 1$ ，积分得

F^{2} (x) = \frac{e ^{x}}{1 + x} .

由 $F (x) > 0$ ，有 $F (x) = e^{\frac{x}{2}} (1 + x)^{- \frac{1}{2}}$ 。求导即得

f (x) = F^{'} (x) = \frac{x e ^{\frac{x}{2}}}{2 ( 1 + x ) ^{\frac{3}{2}}}, x \geq 0.