生成空间的维数等于向量组的秩。把三个向量转置后按行排成矩阵 $M$，其秩与原列向量组相同。
先作 $r_2\leftarrow r_2-r_1$、$r_3\leftarrow r_3-2r_1$，再作 $r_3\leftarrow r_3-3r_2$，得

前两行线性无关，故秩为 $2$ 当且仅当 $a-6=0$，即 $a=6$。此时 ${\alpha }_3=3{\alpha }_2-{\alpha }_1$，而 ${\alpha }_1,{\alpha }_2$ 不成比例，确实生成二维空间。