1990 · 数学三 · 第 11 题 · 解答题

将与积分变量 $t$ 无关的指数部分提出，原式可写为

x \to \infty lim \frac{\int _{0}^{x} ( 1 + t ^{2} ) e ^{t^{2}} d t}{x e ^{x^{2}}} .

当 $x \to + \infty$ 时，分子、分母均趋于正无穷；当 $x \to - \infty$ 时，两者均趋于负无穷。分母的导数 $(1 + 2 x^{2}) e^{x^{2}}$ 恒为正，两个方向均可应用洛必达法则。

应用洛必达法则并用微积分基本定理求导：

x \to \infty lim \frac{( 1 + x ^{2} ) e ^{x^{2}}}{( 1 + 2 x ^{2} ) e ^{x^{2}}} = x \to \infty lim \frac{1 + x ^{2}}{1 + 2 x ^{2}} = \frac{1}{2} .

答案