记 $\rho =\sqrt{x^2+(y-1{)}^2}$。题设极限等价于 $f(x,y)=2x-y+2+o(\rho )$。
（1）确定点值。当 $(x,y)\to (0,1)$ 时，右侧趋于 $1$；由 $f$ 的连续性，$f(0,1)=1$。这一条件不可省略，因为去心极限本身不能确定点值。
（2）按增量整理。令 $\Delta x=x$、$\Delta y=y-1$，则

这恰是可微定义，故 $f_x(0,1)=2$、$f_y(0,1)=-1$，所求全微分为 $\mathrm{d}z{|}_{(0,1)}=2\mathrm{d}x-\mathrm{d}y$。