（1）分离零因子。第 $k$ 个因子在 $0$ 处的值为 $1-k$，只有第一个因子为零，所以 $f(0)=0$。记 $g(x)={\prod }_{k=2}^n(e^{kx}-k)$，于是 $f(x)=(e^x-1)g(x)$。当 $n=1$ 时约定空积 $g(x)=1$。
（2）计算剩余因子之积。$g$ 连续，且 $g(0)={\prod }_{k=2}^n(1-k)=(-1{)}^{n-1}(n-1)!$，其中 $n=1$ 时使用 $0!=1$。
（3）使用导数定义。由 $\frac{(e^x-1)}{x}\to 1$，得

故选 A。

令 ${\phi }_k(x)=e^{kx}-k$。由有限个因子的乘积求导公式，

若 $i\ne 1$，该项仍含 ${\phi }_1(0)=0$，所以整项为零。仅 $i=1$ 一项留下，而 ${\phi }_1^{\prime }(0)=1$，故 $f^{\prime }(0)={\prod }_{k=2}^n(1-k)=(-1{)}^{n-1}(n-1)!$，选 A。此式在 $n=1$ 时按空积为 $1$ 也成立。