1993 · 数学三 · 第 5 题 · 填空题

已知曲线

y = f (x)

过点

(0, - \frac{1}{2})

，且其上任一点

(x, y)

处的切线斜率为

x ln (1 + x^{2})

，则

f (x) =

。

答案

$\frac{1}{2} (1 + x^{2}) ln (1 + x^{2}) - \frac{1}{2} (1 + x^{2})$

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由切线斜率可知 $f^{'} (x) = x ln (1 + x^{2})$ 。令 $u = 1 + x^{2}$ ，则

f (x) = \frac{1}{2} \int ln u d u = \frac{1}{2} [u ln u - u] + C .

由 $f (0) = - \frac{1}{2}$ 得 $C = 0$ 。因此

f (x) = \frac{1}{2} (1 + x^{2}) ln (1 + x^{2}) - \frac{1}{2} (1 + x^{2}) .