（1）由增量关系得到导数。将题设除以非零的 $\Delta x$，得

当 $\Delta x\to 0$ 时，最后一项趋于零，所以导数存在且 $f^{\prime }(x)=2xf(x)$。

（2）分离变量求解。方程是系数连续的一阶齐次线性方程，零解满足方程。由初值问题唯一性，若所求解在某点为零，就应恒为零，与 $f(0)=2$ 矛盾，故 $f$ 处处非零。可除以 $f$ 并积分，得 $\int \frac{\mathrm{d}f}{f}=\int 2x\mathrm{d}x$，即 $\ln |f|=x^2+C_1$，因此 $f=C{\mathrm{e}}^{x^2}$。

（3）利用初值求值。由 $f(0)=2$ 得 $C=2$，故 $f(x)=2{\mathrm{e}}^{x^2}$，从而 $f(1)=2\mathrm{e}$。此函数满足 $f^{\prime }=2xf$，并由可导的增量公式满足题设关系。