将分子有理化：

$$\sqrt{1+\tan x}-\sqrt{1+\sin x}=\frac{\tan x-\sin x}{\sqrt{1+\tan x}+\sqrt{1+\sin x}}.$$

由于 $\tan x-\sin x=\sin x\frac{1-\cos x}{\cos x}\sim \frac{x^3}{2}$，而有理化后的分母趋于 $2$，原分子等价于 $\frac{x^3}{4}$。

另一方面，$x\ln (1+x)-x^2=x[\ln (1+x)-x]\sim -\frac{x^3}{2}$。故所求极限为 $-\frac{1}{2}$。