在 $[0,1]$ 上两种分母都为正，三个被积函数连续，可以逐点比较。
（1）比较 $I_1,I_2$。令 $h(x)=\ln (1+x)-\frac{x}{2}$，则 $h(0)=0$，且 $h^{\prime }(x)=\frac{1-x}{2(1+x)}>0$（$0<x<1$），故 $\ln (1+x)>\frac{x}{2}$（$0<x\le 1$）。除以正数 $1+\cos x$ 并积分，得到 $I_1<I_2$。
（2）比较 $I_2,I_3$。由 $x-\ln (1+x)$ 在零点为零且导数为 $\frac{x}{(1+x)}>0$，有 $\ln (1+x)<x$（$x>0$）。另外，$0\le x\le 1<\frac{\pi }{2}$ 时，$\cos x>0$、$\sin x<1$，所以 $1+\sin x<2<2(1+\cos x)$。因此对 $0<x\le 1$，有

积分后得到 $I_2<I_3$，从而 $I_1<I_2<I_3$，选 A。
这里比较分母时使用的是 $1+\sin x<2(1+\cos x)$，并未假定整个区间上 $\sin x<\cos x$；后者在 $x>\frac{\pi }{4}$ 时不成立。