由 $\ln x$ 的定义域知 $x>0$。方程除以 $x$ 得 $y^{\prime }+\frac{2}{x}y=\ln x$。

积分因子为 $x^2$，于是 ${\left(x^{2}y\right)}^{\prime }=x^2\ln x$，从而 $x^{2}y=\frac{x^3}{3}\ln x-\frac{x^3}{9}+C$。

代入 $y(1)=-\frac{1}{9}$ 得 $C=0$，故 $y=\frac{x}{3}\ln x-\frac{x}{9}$。