2007 · 数学一 · 第 3 题 · 选择题

如图，连续函数

y = f (x)

在区间

[- 3, - 2], [2, 3]

上的图形分别是直径为

1

的上、下半圆周，在区间

[- 2, 0], [0, 2]

上图形分别是直径为

2

的下、上半圆周。设

F (x) = \int_{0}^{x} f (t) d t

，则下列结论正确的是（　　）。

答案

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图中各段函数图像均为半圆周，定积分等于相应带符号的半圆面积。直径为 $1$ 的半圆面积为 $\frac{π}{8}$ ，直径为 $2$ 的半圆面积为 $\frac{π}{2}$ 。因此

\int_{- 3}^{- 2} f (t) d t \int_{- 2}^{0} f (t) d t \int_{0}^{2} f (t) d t \int_{2}^{3} f (t) d t = \frac{π}{8}, = - \frac{π}{2}, = \frac{π}{2}, = - \frac{π}{8} .

由定积分方向可得

F (2) = \int_{0}^{2} f (t) d t = \frac{π}{2}, F (3) = \frac{π}{2} - \frac{π}{8} = \frac{3 π}{8},

F (- 2) F (- 3) = \int_{0}^{- 2} f (t) d t = - \int_{- 2}^{0} f (t) d t = \frac{π}{2}, = - \int_{- 3}^{0} f (t) d t = \frac{3 π}{8} .

比较四个选项，只有 $F (- 3) = \frac{3}{4} F (2)$ 成立，因为 $\frac{3}{4} F (2) = \frac{3}{4} \cdot \frac{π}{2} = \frac{3 π}{8} = F (- 3)$ 。故选 C。