（1）对固定 $a$，$1+a{x}^2$ 在零点附近非零，故 $f$ 在该邻域光滑，可以由泰勒系数读取三阶导数。展开到三阶：

（2）相减得 $f(x)=(a-\frac{1}{3})x^3+o(x^3)$。因此 $f^{\prime \prime \prime }(0)=3!(a-\frac{1}{3})=6a-2$。题设其为 $1$，所以 $6a-2=1$，解得 $a=\frac{1}{2}$。
（3）代入后，三次项系数为 $\frac{1}{2}-\frac{1}{3}=\frac{1}{6}$，对应三阶导数 $3!\cdot \frac{1}{6}=1$。不能把三次项系数直接等同于三阶导数，二者相差 $3!$。