2009 · 数学一 · 第 2 题 · 选择题

如图，正方形

{(x, y) ∣ ∣ x ∣ \leq 1, ∣ y ∣ \leq 1}

被其对角线划分为四个区域

D_{k} (k = 1, 2, 3, 4)

，

I_{k} = \iint_{D_{k}} y cos x d x d y

，则

max_{1 \leq k \leq 4} {I_{k}} =

（　　）。

答案

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在正方形内 $cos x > 0$ 。区域 $D_{2}, D_{4}$ 关于 $x$ 轴的截线关于 $y = 0$ 对称，且被积函数对 $y$ 为奇函数，因此 $I_{2} = I_{4} = 0$ 。

$D_{3}$ 是 $D_{1}$ 关于 $x$ 轴的对称区域，所以 $I_{3} = - I_{1}$ 。在 $D_{1}$ 内 $y \geq 0$ 且内部有正面积，故 $I_{1} > 0$ 。于是四者最大值为 $I_{1}$ ，对应选项 A。