写 $A=I+2J$，其中 $J$ 为三阶全 1 矩阵。于是 $A$ 的特征值为 $7$（特征向量 $(1,1,1{)}^{\mathsf{T}}$）和 $1$（重数 2，特征空间为其正交补）。

因 $\det A=7$，$A^{\ast }=7A^{-1}=7I-2J$。故 $A^{\ast }+2E=9I-2J$ 的特征值为 $3$ 和 $9$，其中 $3$ 对应 $w=(1,1,1{)}^{\mathsf{T}}$，$9$ 对应 $w_1=(-1,1,0{)}^{\mathsf{T}}$、$w_2=(1,0,-1{)}^{\mathsf{T}}$。

由 $B+2E=P^{-1}(A^{\ast }+2E)P$，若 $w$ 为 $A^{\ast }+2E$ 的特征向量，则 $P^{-1}w$ 为 $B+2E$ 对应同一特征值的特征向量。这里

因而 $P^{-1}(1,1,1{)}^T=(0,1,1{)}^T$，$P^{-1}{w}_1=(1,-1,0{)}^T$，$P^{-1}{w}_2=(1,1,-1{)}^T$。所以特征值 $3$ 的全部特征向量为 $\tau (0,1,1{)}^T$（$\tau \ne 0$）；特征值 $9$ 的全部特征向量为 $s(1,-1,0{)}^T+t(1,1,-1{)}^T$（$(s,t)\ne (0,0)$）。