（1）求余弦系数。由区间 $[0,\pi ]$ 上的余弦级数系数公式，对 $n\ge 1$ 有

其中 ${\int }_0^{\pi }\cos (nx)\mathrm{d}x=0$；另一项分部积分，得

因此 $a_n=\frac{2[(-1{)}^n-1]}{\pi n^2}$，即奇数下标为 $-\frac{4}{\pi n^2}$，正偶数下标为零。常数系数另算为 $a_0=\frac{2}{\pi }{\int }_0^{\pi }(x+1)\mathrm{d}x=\pi +2$。

（2）求极限。因为 $2n-1$ 为奇数，所以 $a_{2n-1}=-\frac{4}{\pi (2n-1{)}^2}$，它非零且趋于零。利用 $\underset{u\to 0}{\lim }\frac{\sin u}{u}=1$，得

最后用到 $\frac{n^2}{(2n-1{)}^2}=\frac{1}{(2-\frac{1}{n}{)}^2}\to \frac{1}{4}$。