2001 · 数学一 · 第 13 题 · 解答题

设

f (x) = ⎩ ⎨ ⎧ \frac{1 + x ^{2}}{x} arctan x, 1, x \neq = 0, x = 0

。

答案

$f (x) = 1 + 2 n = 1 \sum \infty \frac{( - 1 ) ^{n - 1}}{4 n ^{2} - 1} x^{2 n}, ∣ x ∣ < 1$

$\frac{π}{4} - \frac{1}{2}$

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在 $∣ x ∣ < 1$ 时， $arctan x = n = 0 \sum \infty (- 1)^{n} \frac{x ^{2 n + 1}}{( 2 n + 1 )}$ 。

当 $0 < ∣ x ∣ < 1$ 时，将其乘以 $x^{- 1} + x$ 并合并同次幂，得到

f (x) = 1 + 2 n = 1 \sum \infty \frac{( - 1 ) ^{n - 1}}{( 2 n - 1 ) ( 2 n + 1 )} x^{2 n} = 1 + 2 n = 1 \sum \infty \frac{( - 1 ) ^{n - 1}}{4 n ^{2} - 1} x^{2 n} .

在 $x = 0$ 时，级数的值为 $1$ ，与题设的 $f (0) = 1$ 一致，因此展开式在 $∣ x ∣ < 1$ 上成立。

第一问所得级数在 $x = 1$ 处绝对收敛，结合 Abel 定理可取 $x = 1$ 。又 $f (1) = 2 arctan 1 = \frac{π}{2}$ ，故

\frac{π}{2} = 1 + 2 n = 1 \sum \infty \frac{( - 1 ) ^{n - 1}}{4 n ^{2} - 1} .

注意 $\frac{( - 1 ) ^{n}}{( 1 - 4 n ^{2} )} = \frac{( - 1 ) ^{n - 1}}{( 4 n ^{2} - 1 )}$ ，所以所求和为 $\frac{π}{4} - \frac{1}{2}$ 。