（1）任取切点 $(x,f(x))$，记 $y=f(x)$。切线为 $Y-y=f^{\prime }(x)(X-x)$。因 $f^{\prime }(x)>0$，其与 $x$ 轴交点横坐标为 $x-\frac{y}{f^{\prime }(x)}$。切线、竖直线 $X=x$ 与 $x$ 轴围成直角三角形，两条直角边长为 $|y|$ 和 $\frac{|y|}{f^{\prime }(x)}$，故

面积恒为正，故 $y\ne 0$；在含初值点的连通区间上，连续性与 $y(0)=2>0$ 保证 $y>0$。
（2）分离变量，得 $y^{-2}\mathrm{d}y=\frac{\mathrm{d}x}{8}$。积分为 $-\frac{1}{y}=\frac{x}{8}+C$；代入 $y(0)=2$ 得 $C=-\frac{1}{2}$，所以

包含 $0$ 的最大解区间为 $(-\infty ,4)$，题设区间 $I$ 可取其中包含 $0$ 的子区间，不必强行令其等于最大区间。
（3）核对：$f(0)=2$，$f^{\prime }(x)=\frac{8}{(4-x{)}^2}>0$，而 $\frac{f(x{)}^2}{[2f^{\prime }(x)]}=4$，所以原面积条件成立。