在 $x>0$ 上将方程除以 $x$，得 $y^{\prime }+(\frac{1}{x}-1)y=\frac{{\mathrm{e}}^{2x}}{x}$。积分因子为 $\mu (x)={\mathrm{e}}^{\int (\frac{1}{x}-1)\mathrm{d}x}=x{\mathrm{e}}^{-x}$。

于是 $(x{\mathrm{e}}^{-x}y{)}^{\prime }={\mathrm{e}}^x$，积分得 $x{\mathrm{e}}^{-x}y={\mathrm{e}}^x+C$，即 $y=\frac{({\mathrm{e}}^{2x}+C{\mathrm{e}}^x)}{x}$。

由 $y(1)=0$ 得 $C=-\mathrm{e}$，故 $y=\frac{{\mathrm{e}}^{2x}-{\mathrm{e}}^{x+1}}{x}$。