1988 · 数学三 · 第 11 题 · 解答题

已知

u = e^{\frac{x}{y}}

，求

\frac{\partial ^{2} u}{\partial x \partial y}

。

答案

$- \frac{x + y}{y ^{3}} e^{\frac{x}{y}} (y \neq = 0)$

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函数的定义域要求 $y \neq = 0$ 。先对 $x$ 求偏导：

\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{1}{y} e^{\frac{x}{y}} .

再对 $y$ 求偏导，使用乘积法则和链式法则：

\frac{\partial ^{2} u}{\partial x \partial y} = - \frac{1}{y ^{2}} e^{\frac{x}{y}} - \frac{x}{y ^{3}} e^{\frac{x}{y}} = - \frac{x + y}{y ^{3}} e^{\frac{x}{y}} .