只需在 $t=\frac{\pi }{2}$ 的邻域考虑，取 $t>1$。原积分区域为 $1\le x\le t^2$，$\sqrt{x}\le y\le t$，等价于 $1\le y\le t$，$1\le x\le y^2$。被积函数在该区域连续，换序后

此时参数只出现在外层上限，且被积函数连续，故 $f^{\prime }(t)=t(\cos (\frac{1}{t})-\cos t)$。代入 $t=\frac{\pi }{2}$，得 $f^{\prime }(\frac{\pi }{2})=(\frac{\pi }{2})\cos (\frac{2}{\pi })$。

也可直接对含参积分求导。对 $t>1$ 记 $g(x,t)={\int }_{\sqrt{x}}^t\sin (\frac{x}{y})\mathrm{d}y$，则 $f(t)={\int }_1^{t^2}g(x,t)\mathrm{d}x$。由含参积分求导公式，

因 $\sqrt{t^2}=t$，$g(t^2,t)=0$；又 $g_t(x,t)=\sin (\frac{x}{t})$，所以

因此 $f^{\prime }(\frac{\pi }{2})=(\frac{\pi }{2})\cos (\frac{2}{\pi })$。求导时上限项必须先写出，再根据上下限重合说明其为零。