2020 · 数学一 · 第 10 题 · 填空题

设

{x = t^{2} + 1, y = ln (t + t^{2} + 1),

则

\frac{d ^{2} y}{d x ^{2}} ∣_{t = 1} =

。

答案

$- 2$

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（1）因 $t^{2} + 1 > ∣ t ∣$ ，对数真数 $t + t^{2} + 1 > 0$ 。分别求导，得 $\frac{d x}{d t} = \frac{t}{t ^{2} + 1}$ ，以及

\frac{d y}{d t} = \frac{1 + \frac{t}{t ^{2} + 1}}{t + t ^{2} + 1} = \frac{1}{t ^{2} + 1} .

（2）在 $t = 1$ 邻域内 $t \neq = 0$ ，故 $\frac{d x}{d t} \neq = 0$ ，可约得 $\frac{d y}{d x} = \frac{1}{t}$ 。再对 $t$ 求导并除以 $\frac{d x}{d t}$ ，得到

\frac{d ^{2} y}{d x ^{2}} = \frac{- \frac{1}{t ^{2}}}{\frac{t}{t ^{2} + 1}} = - \frac{t ^{2} + 1}{t ^{3}} .

代入 $t = 1$ ，结果为 $- 2$ 。

在 $t = 1$ 附近取 $t > 0$ ，由 $x = t^{2} + 1$ 得 $x > 1$ 、 $t = x^{2} - 1$ ，于是 $y = ln (x + x^{2} - 1)$ 。对 $x$ 求导得 $y^{'} = \frac{1}{x ^{2} - 1}$ ，再求导得 $y^{''} = - \frac{x}{( x ^{2} - 1 ) ^{\frac{3}{2}}}$ 。 $t = 1$ 对应 $x = 2$ ，因此 $y^{''} = - 2$ 。消参时必须根据参数所在邻域选择正根。